本科论文教学走进数学知识的“内核”

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   乘法分配律是运算律单元的教学重点。通过举例验证、观察比较、出猜想、发现规律、引出规律,让学生感悟基本的推理、模型、化归等数学思想。在此基础上,教师引导学生联系运算的意义、现实背景中的数量关系或几何图形,进行更加深入的思考,从而走进知识的“内核”。 
  关键词乘法分配律;数学思想;数学知识的内核 
  中图分类号 G623.5 文献标识码 A 文章编号 17-968(217)2-6-2 
  课前思考 
  乘法分配律是学生在已经掌握了乘法交换律、结合律,并能初步应用这些定律进行一些简便计算的基础上进行学习的内容,它联系了乘法和加法两种运算,沟通了这两种运算之间的关系。乘法分配律是运算律单元的教学重点,教材是按照分析题意、列式解答、讲述思路、观察比较、总结规律等顺序呈现的。熟练掌握乘法分配律是进行简便计算的前和依据,对高学生的计算能力有着重的作用。 
  人教版、苏教版、北师大版等教材,几乎都是从购物、贴瓷砖等生活问题中引入乘法分配律,在不完全归纳推理的基础上,引导学生通过比较逐步发现规律。大部分教师教学时都是从学生的生活入手,让学生在熟悉的情境中理解乘法分配律的生活意义,但有意义的教学不能止于此,更应该揭示乘法分配律的数学意义,搭建“生活数学”与“学科数学”之间的桥梁,让学生的学习触及数学的本质,走进知识的“内核”。因而,教师准确把握运算律的本质及价值,强化乘法分配律的内在意义。这样,不仅有助于高教学的针对性和有效性,而且有助于加深学生对运算本身的理解,帮助学生感悟蕴含在知识中的数学基本思想。 
  我遵循教材编写的特点,在充分吃透教材编写意图的基础上进行了适度的补充——除了引导学生进行举例验证之外,还让学生充分观察后出猜想、发现规律。在此基础上,我还将运算的意义、现实背景中的数量关系或几何图形联系在一起,进一步凸显乘法分配律的合理性,引导学生展开更加深入的思考。这样的教学才是有意义的,才能触及知识的“内核”。 
  首先,在探索规律的过程中感受合情推理的价值。对于学生而言,运算律是抽象和概括一些等式的规律。从知识逻辑来说,运算律与相关运算的意义是相伴相生的。数学家在定义四则运算的同时需思考“能否由定义出发合乎逻辑地推导出相应的运算律”。如果能把这个本质上属于演绎推理的过程,与小学数学通常采用的探索、发现过程结合起来,就可以让学生在探究新知的同时获得一种“顿悟”感,从而感受演绎推理思想的力量。 
  其次,在多元表征运算律的过程中感受简单的模型思想。在借助实例初步归纳出乘法分配律的基础上,重点是引导学生用合适的方式把自己发现的规律表示出来,这个过程也称为“表征运算律”。教师不能仅仅满足于让学生采用不完全归纳法发现规律,还注重从生活表征到图形表征再到数学表征的抽象过程。一般来说,运算律表征的方式主有三种语言表征、图形表征和符号表征。其中,图形表征和符号表征具有初步数学建模的意味,经历这个过程有助于让学生初步感受模型思想与数形结合思想,体会不同数学表征方式的特点和价值,高学生学习数学、应用数学的兴趣。 
  最后,在应用规律的过程中感受化歸思想。学生探究和发现乘法运算律,主依靠合情推理,那么应用运算律进行一些简便计算,就是进行演绎推理,而简便计算的过程也体现了“等值变形”的化归思想。因此,教师不仅重视引导学生分析、思考每一步运算的依据,让学生做到有根有据、有条有理地思考,而且适当引导学生体会化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的策略价值,感受化归思想。 
  教学实录 
  一、问题导入,引发思考 
  师学校组织运动会,各班同学也在积极备战、刻苦训练。看到这幅图,你能想到什么数学问题呢?请出需两步或两步以上计算的问题。 
  生1四、五年级一共领了多少根跳绳? 
  生2四年级比五年级多领了多少根跳绳? 
  生3四、五年级一共有多少人? 
  师我们先来解决生1和生2出的问题。请列综合算式解答。 
  二、探究交流,出猜想 
  1.交流自由生长 
  生14×24+6×24=96+144=24(根)。(第一种方法) 
  生2(4+6)×24=1×24=24(根)。(第二种方法) 
  生34×6+5×4=44(人)。 
  师为什么对于第一个问题有两种不同的解法,对于第二个问题却只有一种解法?第一题的第一种方法和第二种方法是怎么得到的? 
  生4第一种方法是分别求出四、五年级各领了多少根跳绳,再求两个年级一共领了多少根跳绳;第二种方法是先求出四、五年级一共有多少个班,再求两个年级一共领了多少根跳绳。 
  师方法不同,得到的结果却相同,这可是殊途同归啊!既然结果相等,那这两个算式之间有什么关系呢? 
  生(齐)相等。 
  师等号两边的式子有什么联系呢?(板书(4+6)×24=4×24+6×24) 
  生5等号左边先算4+6的和,再算1个24是多少;等号右边是先算出4个24和6个24分别是多少,再求和,也是算1个24是多少。 
  2.举例引发思考 
  师请写出几个像这样的等式。 
  师同学们举的例子各不相同,全部都写在黑板上比较麻烦,有不相同的吗?你能不能写一个式子表示大家所举的具体例子? 
  师看看这些式子,虽然数字各不相同,但仔细琢磨,这些看似不相同的式子,是随便写出来的吗?它们有什么相同之处,相同之处是什么呢?
  生6每个式子都有一个共同的因数。 
  师观察得很仔细,一下子就抓住了问题的关键。这些式子之所以可以写成相等的形式,其真正原因就是有——相同的因数。 
  3.归纳出猜想 
  师认真观察这些等式的左边和右边,再从左往右看,这几个等式有什么相同点?(出示小组学习的求) 
  生7左边是两个加数的和乘一个数,右边是先分开乘再相加。 
  师“分开乘”什么意思?把谁分开了? 
  师(在学生交流的基础上出示两个数的和与一个数相乘,可以把这两个数分别和这个数相乘,再相加)这是数学中一条重的规律,叫作“乘法分配律”。这个规律为什么叫作乘法分配律?你有什么高见? 
  三、多元表征,验证猜想 
  师这样的规律是不是正确的呢?在我们以前的学习过程中有没有遇到类似的式子呢?你能不能试着通过举例、图示或者计算来验证这个规律?这样的规律还可以怎样来表示?想一想,写一写。 
  生1举例,通过结果来验证。 
  生2画图。 
  生3计算。 
  师我们是怎么算25×12的?(1+2)×25=1×25+2×25。其实,等式左边是1与2的和乘25,也就是求1个25,右边是1个25加上2个25,也是求1个25。 
  (板书(1+2)个25,1个25,2个25。引导学生透过算式的外在形式关注算式的数学本质,帮助学生用乘法意义来解释乘法分配律) 
  四、巩固练习,应用猜想 
  习题1 “练一练”第1题 
  ①(42+35)×2 = 42×□+35×□; 
  ②27×12+43×12 = (27+□)×□; 
  ③15×26+15×14= □〇(□〇□); 
  ④72×(3+6)= □〇□〇□〇□ 。 
  师(针对第②题)两个乘法中相同的乘数是几?是不是应该把相同的乘数放在括号外面? 
  师(小结)虽然这些题目形式上不同,但实质上是一样的。大家不能仅仅关注形式,更多的是思考本质的意义。 
  习题2 “练一练”第2、3、4题(略)。 
  习题3 四年级的活动区域是一个长22米、宽1米的长方形,五年级的活动区域是一個长18米、宽1米的长方形。求两个年级的活动面积一共是多少平方米。 
  习题4 练习十第6题 
  (1)64×8+36×8,(64+36)×8; 
  (2)25×4+25×4,25×(4+4)。 
  观察这两组算式,想想每组中两个算式的结果是否相同?为什么?如果让你选择一组进行计算,你会选择哪个?为什么? 
  师(小结)看来,学会了乘法分配律,我们还能对部分计算使用简便算法,使一些复杂的计算变得简单。 
  习题5 开学初,学校为了丰富大家的课间活动,购买了一批体育器材,看看是什么?(课件出示图片和信息空竹每个17元,飞盘每个8元,铁环每个15元。)每种玩具都购买了6个,一共花多少钱? 
  师观察等式(17+8+15)×6=17×6 + 8×6+15×6,你有什么想告诉大家吗? 
  师(小结)乘法分配律不仅可以是两个加数的和乘第三个数,还可以推广到3个加数的和,甚至可以是更多的加数! 
  师刚刚我们就实际问题出了很多的猜想(两个数拓展到三个及以上的数的和;加法拓展到减法;乘法拓展到除法),大家课后也可以试试用今天研究的方法,由一个特例得出多个例子,先通过观察和比较出猜想,再去验证和应用猜想。这是我们数学学习常用的一种方法。 
  五、总结升,发展猜想 
  师在今天这节课上你收获了什么?从中你得到什么启发?面对熟悉的知识、情境、问题,很多时候我们可以试着往深处想一想“这些知识的背后,是不是蕴藏了一些规律?是不是隐藏了一些看不见的奥秘?”……多思考,多动脑,我们的思维会变得与众不同!